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教学大纲

学时学分:162学时 10学分

一、课程教学目标

通过本课程的学习,要求学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能,为进一步获得数学知识,学好以后的各门专业基础课和专业课奠定必要的数学基础。

本课程在整个教学过程中,逐渐培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力以及创新能力,同时培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用高等数学方法去分析问题、解决问题的能力,不断提高学生的综合素质,为培养我国社会主义现代化建设所需要的高层次、综合性、复合型工程技术人才作准备。

二、教学内容及基本要求

教学内容

学时

基本要求

第一章 函数

4

了解:函数的常用特性及反函数、复合函数和分段函数概念;

理解:函数概念;

掌握:基本初等函数及其性质与图形;

应用:会列出较简单实际问题中的函数关系式。

第二章 极限与连续

12

了解:极限的定义,极限存在准则,初等函数的连续性和闭区间上连续函数性质;

理解:数列及函数极限的概念,无穷小、无穷大概念和有关性质,函数在一点的连续概念;

掌握:极限四则运算法则,用重要极限求有关极限的方法,无穷小的比较方法;

应用:会应用初等函数的连续性和闭区间上连续函数性质;会判断间断点的类型。

第三章 导数与微分

12

了解:微分运算法则、一阶微分形式不变性和微分在近似计算中的应用;

理解:导数与微分概念、导数的几何意义及可微、可导与连续性之间的关系;

掌握:导数运算法则、求导基本公式;理解高阶导数概念,熟练掌握计算初等函数的一、二阶导数(包括隐函数和参数式表示的函数);

应用:会计算函数的微分;会用导数描述某些物理量;会求分段函数的导数和一些简单函数的n阶导数。

第四章 中值定理与导数应用

16

了解:柯西中值定理、泰勒中值定理;曲率和曲率半径概念;

理解:罗尔定理、拉格朗日中值定理;极值概念;

掌握:罗必达法则求极限的方法;利用导数判断函数单调性的方法;

应用:会利用中值定理证明一些较简单的数学问题;会用导数判断函数图形的凹凸性;会比较准确地描绘出函数的图形(凹凸性、拐点、渐近线);会求函数的最大值、最小值及其简单应用问题;会计算曲率和曲率半径。

第五章 不定积分

10

理解:原函数、不定积分概念;

掌握:不定积分性质及基本公式;用换元法及分部积分法计算有关函数的不定积分;

应用:会计算有理函数、简单无理函数、三角函数有理式的不定积分计算。

第六章 定积分及其应用

20

了解:两种类型的广义积分概念;定积分的近似计算方法;

理解:定积分概念及性质;变上限的定积分函数及其求导公式;

掌握:牛顿—莱不尼兹公式;用换元法及分部积分法计算有关函数的定积分;用定积分(微元法)表达和计算一些几何量(面积、某些体积、弧长等)及物理量(功、引力、水压力等);

应用:会计算简单的广义积分。

第七章 空间解析几何与向量代数

14

了解:曲面及方程、空间曲线及方程;

理解:空间直角坐标系和空间点的直角坐标;向量概念;向量的坐标表达式;

掌握:向量的线性运算、点积、叉积、混合积运算;用坐标表达式对向量作运算;平面及其方程和空间直线及其方程的求法;旋转曲面(以坐标轴为轴)、柱面(母线平行坐标轴)方程;常用二次曲面的方程及其图形。

第八章 多元函数微分法及其应用

16

了解:二元函数的极限、连续概念;有界闭域上连续函数性质;全微分存在的充分条件和必要条件以及全微分在近似计算中的应用;偏导数几何应用;二元函数极值存在的充分条件;

理解:多元函数概念;偏导数、全微分概念;方向导数及梯度概念;多元函数极值概念;

掌握:偏导数、全微分计算;多元复合函数的微分法;方向导数及梯度的计算法;多元函数极值存在的必要条件;

应用:会求曲线的切线及法平面和曲面的切平面及法线方程;会求二元函数的极值;会求简单多元函数的最大值、最小值,会解决简单的有关于应用问题。

第九章 重积分

16

了解:重积分性质;

理解:二、三重积分概念;

掌握:二重积分计算方法(直角坐标下,极坐标下);

应用:会计算三重积分;会用重积分表达一些几何量与物理量。

第十章 曲线积分与曲面积分

12

了解:两类曲线积分性质及它们的关系;两类曲面积分概念和性质;曲线、曲面积分的某些几何、物理应用;

理解:两类曲线积分概念;高斯公式;

掌握:两类曲线积分的计算;两类曲面积分计算;

应用:会计算二元函数的全微分求积。

第十一章 无穷级数

16

了解:级数的绝对收敛与条件收敛概念以及绝对收敛与收敛的关系;函数项级数的收敛域及和函数概念;将函数展开为泰勒级数的充要条件;幂级数在近似计算中的简单应用;函数展开为付立叶级数的狄氏收敛定理;

理解:级数收敛、发散概念;级数收敛必要条件和级数的基本性质

掌握:几何级数、调和级数、P级数收敛性;正项级数的比较判敛法、比值判敛法、根值判敛法;幂级数的收敛半径及收敛区间的求法;ex、sinx、cosx、ln(1+x)、(1+x)m的麦克劳林展开式并会利用其对某些函数作间接泰勒展开;

应用:会用交错级数的莱不尼兹定理判断交错级数敛散性;会求一些简单幂级数的和函数;会将函数展开成付立叶级数,会对一些函数作正弦展开和余弦展开。

第十二章 常微分方程

14

了解:微分方程、通解、初始条件和特解等基本概念;几种特殊的高阶方程的解法;

理解:二阶线性微分方程解的结构定理;

掌握:可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程的求解法;二阶常系数线性齐次方程的求解;

应用:会识别微分方程的类型;会用变量代换解伯努利方程;会解简单的全微分方程;会解自由项为两种特殊情况的二阶常系数线性非齐次微分方程。