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1

不等式x-A<a

不等式|x–A|<aA a<x<A+a是等价的,其中A为实数,a为正实数。

2

闭区间[a,b]

区间包括四种有限区间和五种无限区间,它们的名称、记号和定义如下 (其中ab为确定的实数,分别为区间的左端点和右端点):

闭区间 [a,b]={x|a≤x≤b}

3

开区间(a,b)

开区间 (a,b)={x|a<x<b}

4

半开区间[a,b)

半开区间

(a,b]= {x|a<x≤b}

[a,b)= {x|a≤x<b} (动画所示)

5

无限区间

无限区间

(a,+∞)={x|a<x},[a,+∞)={x|a≤x},

(-∞,b)={x|x<b},(-∞,b]={x|x≤b},

(-∞,+∞)= {x|x∈R}

6

邻域

称实数集{x||x-a|<δ}为点a的δ邻域,记作U(a,δ),a称为邻域的中心,δ称为邻域的半径。由邻域的定义知:

U(a,δ)=(a-δ,a+δ)

表示分别以a-δ,a+δ为左、右端点的开区间,区间长度为2δ。

7

去心邻域

在U(a,δ)中去掉中心点a得到的实数集

{x|0<|x-a|<δ}

称为点a的去心邻域,记作U(a,δ)。显然,去心邻域U(a,δ)是两个开区间(a-δ,a)和(a,a+δ)的并,即

U(a,δ)= (a-δ,a)∪(a,a+δ)

8

函数的图形曲线

设函数y=f(x)的定义域为X。在平面直角坐标系xOy中,对于任意的x∈X,通过函数y=f(x)都可确定一个点M(x,y),当x取遍定义域X中的所有值时,点M(x,y)描出的图形称为函数y=f(x)的图形。一个函数的图形通常是一条曲线。因此,又称函数y=f(x)的图形为曲线y=f(x)。

9

函数的有界性

设函数y=f(x)在数集X上有定义,如果存在正数M,使得对于任意的x∈X,都有不等式|f(x)|≤M成立,则称f(x)在X上有界,并称M为f(x)在X上的一个界。

当函数y=f(x)在区间[a,b]上有界时,函数y=f(x)的图形恰好位于直线y=M和y=–M之间。

10

严格单调增加

严格单调增加的函数的图形是沿x轴正向上升的。

11

严格单调减少

严格单调减少的函数的图形是沿x轴正向下降的。

12

偶函数

设函数y=f(x)的定义域D是关于原点对称的,即当x∈D时,有-x∈D。如果对于任意的x∈D,均有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数,偶函数的图形关于y轴对称。

13

奇函数

如果对任意的x∈D,均有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数。奇函数的图形关于坐标原点对称。

14

函数的周期性

设函数y=f(x),其定义域为D,如果存在正常数T,使得对于定义域内的任何x均有f(x+T)=f(x)成立,则称函数y=f(x)为周期函数,T为f(x)的周期。

显然,若T是周期函数f(x)的周期,则kT也是f(x)的周期(k=1,2,3……),通常我们说的周期函数的周期就是指最小周期。

15

反函数的定义

如果对于任意确定的y∈Y,存在唯一的x∈D与之对应,满足f(x)=y。按照函数的定义,如果把y看成是自变量,把x看成是因变量时,当把y看成自变量,x看成因变量时,便得到一个新的函数。称这个新的函数为函数y=f(x)的反函数,记作x=Φ(y)

相对于反函数来说,称函数y=f(x)为直接函数。反函数的定义域就是直接函数的值域Y,反函数的值域就是直接函数的定义域D

16

反函数的对称性

设函数y=f(x)的反函数为

x=Φ(y)       (1)

习惯上,常用x来表示自变量,y表示函数,所以我们可以将反函数(1)改写成

y=Φ(x)       (2)

并且也称(2)为y=f(x)的反函数,由于改变了自变量和因变量的记号,因而(2)在直角坐标系xOy上的图形与y=f(x)的图形是关于直线y=x对称的。

17

常量函数的图形

常量y=C (C为常数)

常量函数的定义域为(-∞,+∞),无论x取何值,y都取值常数C

18

幂函数的图形

幂函数y=xμ(μ是常数)

幂函数xμ的定义域随μ的不同而不同。无论μ取何值,它在(0,+∞)内都有定义,而且图形都经过(1,1)点。

19

指数函数的图形

指数函数y=ax (a>0,a≠1,a是常数)

指数函数ax的定义域为(-∞,+∞)。当a>1时,它严格单调增加;当0<a<1时,它严格单调减少。对于任何的a(a>0,a≠1),ax的值域都是(0,+∞),函数的图形都过(0,1)点。

20

对数函数的图形

对数函数y=logax (a>0,a≠1,a是常数)

对数函数logax是指数函数ax的反函数,它的定义域为(0,+∞)。当a>1时,它严格单调增加;当0<a<1时,它严格单调减少。对于任何的a(a>0,a≠1),y=logax的值域都是(-∞,+∞),函数的图形都过(1,0)点。

21

正弦函数的图形

正弦函数 y=sinx

定义域为(-∞,+∞),是以2π为周期的函数,是有界函数。

22

余弦函数的图形

余弦函数 y=cosx

定义域为(-∞,+∞),是以2π为周期的函数,是有界函数。

23

正切函数的图形

正切函数 y=tanx

y=tanx定义域为除去x=nπ+ (n=0,±1,±2,……)以外的全体实数。

24

余切函数的图形

余切函数 y=cotx

y=cotx定义域为除去x=nπ (n=0,±1,±2,……)以外的全体实数。

25

反正弦函数的图形

三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanxy=cotx的反函数都是多值函数,我们按下列区间取其一个单值分支,称为主值分支,记作:

反正弦函数 y=arcsinx,,y∈[-,],定义域为[-1,1]。

26

反余弦函数的图形

反余弦函数

27

反正切函数的图形

反正切函数

28

反余切函数的图形

反余切函数



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1

数列的表示法

在几何上,通常用数轴上的点列x1,x2,…,xn,…来表示数列{xn}。

这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列x1,x2,…,xn,…是自左向右依次排列的点列。表示有界数列的点列全部落在某一区间[-MM]之内,表示无界数列的点列,无论区间[-MM]多么长,总有落在该区间之外的点。

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2

xn=f(n)的图形

当我们把数列{xn}看成是n的整标函数,即xn=f(n),其图形是在平面直角坐标系中的二维点列:

1,x1),(2,x2),…,(n,xn),…。数列{xn}收敛于a,就是对于任意给定的正数ε(无论其多么小),总存在正整数N,当n>N时,二维点(n,xn)都在直线y=a+ε与直线y=a-ε形成的带状域之内,一般来说,ε越小(带宽小),N越大。

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3

自变量趋于无穷大时函数极限的几何意义

其定义的几何意义是:对无论多么小的正数ε,总能找到正数,当x满足条件x>Xx<–X时,曲线y=f(x)介于两条水平直线y=A+ε和y=A-ε之间。

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4

自变量趋向有限值时函数极限的几何意义

其几何意义是:对于任意给定的正数ε,无论其多么小,总存在点x0的一个去心邻域0<|x-x0|<δ,使得函数y=f(x)在这个去心邻域内的图形介于两条平行直线y=A-ε和y=A+ε之间。

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5

连续函数的概念与增量表示

设变量u从它的一个值u1变到另一个值u2,其差称做变量u的增量或改变量,记作△u,即△u= u2-u1。

增量△u可以是正的,也可以是负的。当△u为正时,变量u从u1变到u2= u1+△u是增大的;当△u为负时,变量u从u1变到u2= u1+△u是减少的。

设有函数当自变量变到,即点取得增量时,函数相应地从变到取得增量 ,即

一般来说△y既与点x0有关,也与x的增量△x有关。

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6

介值定理

设函数f(x)在[a,b]连续,mM分别表示f(x)在[a,b]的最小值和最大值,则对于任何c∈[m,M],至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=c。

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1

导数的几何意义

当自变量xx0变化到x0+△x时,曲线y=f(x)上的点由M(x0,f(x0))变到N(x0+△x,f(x0+△x))。

此时△x)为割线两端点MN的横坐标之差,而则为MN的纵坐标之差,所以即为过MN两点的割线的斜率tanφ。

曲线y=f(x)在点M处的切线即为割线MN,当M沿曲线y=f(x)无限接近N时的极限位置MT,因而当△x→0时,割线斜率的极限值就是切线的斜率。

所以,导数f’(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点M (x0,f(x0))处的切线斜率。

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2

微分的几何意义

微分dy的几何意义,就是曲线y=f(x)在点M0处的切线的纵坐标的增量。

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1

罗尔定理的几何意义

若曲线弧在[a,b]上为连续弧段,在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线,且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同,那么曲线弧段上至少有一点,过该点的切线必定平行于x轴。

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2

拉格朗日中值定理的几何意义

如果在[a,b]上的连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,那么在曲线弧上至少有一点(ξ,f(ξ)),使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线。

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3

函数的极值

设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于x0的x都有
(1)f(x)f(x0)成立,则称f(x0)f(x)的极大值,称x0f(x)的极大值点;

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4

函数的最大值与最小值

由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知,如果f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必定能取得最大值与最小值。

求[a,b]上连续函数的最大值、最小值的步骤:

(1)求出f(x)的所有位于(a,b)内的驻点x1, x2,…, xk

(2)求出f(x)在(a,b)内导数不存在的点,…,

(3)比较f(x1),, f(xk),,f(),f(a),f(b)的值的大小。其中最大的值即为最大值,最小的值即为最小值,相应的点为最大值点和最小值点

由上述分析可以看出,最大值与最小值是函数f(x)在区间[a,b]上的整体性质,而极大值与极小值是函数f(x)在某点邻域内的局部性质。

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5

曲线的凹凸性定义(凹)

设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。

对于任意的x0∈(a,b),曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0))的切线总位于曲线弧y=f(x)的下方,则称曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凹的。

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6

曲线的凹凸性定义(凸)

设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。

对于任意的x0∈(a,b),曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0))的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方,则称曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凸的。

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7

水平渐近线

当且仅当下列三个情形之一成立时,直线y=c为曲线y=f(x)的水平渐近线:

(1)   (z040603.swf)

(2)   (z040604.swf)

(3)   (z040605.swf)

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8

铅直渐近线

当且仅当下列三个情形之一成立时,直线x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线:

(1)    (z040606.swf)

(2)    (z040607.swf)

(3)    (z040608.swf)

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9

弧微分

描述请见《高数电子教案-描述0407-1.ppt》

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10

曲线弯曲程度的二个要素

描述请见《高数电子教案-描述0407-2.ppt》

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11

曲率圆、曲率半径、曲率中心

如果曲线y=f(x)上点M(x,y)处的曲率K≠0,则称曲率K的倒数为曲线在点M处的曲率半径。记为R,即
设K≠0,过曲线y=f(x)上点M(x,y)作曲线的法线。在法线上沿曲线凹向的一侧取点D,使|MD|==R。以D为圆心,以R=为半径作圆,则称此圆为曲线y=f(x)在点M处的曲率圆,称曲率圆的半径为曲线y=f(x)在此点的曲率半径,称曲率圆的圆心D为曲线y=f(x)在点M处的曲率中心。

由上述定义可知曲率圆有如下性质:

(1)它与曲线y=f(x)在点M处相切。

(2)在点M处,曲率圆与曲线y=f(x)有相同的曲率。

(3)在点M处,曲率圆与曲线y=f(x)的凹向相同。

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1

不定积分的几何意义

函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,此积分曲线为一族积分曲线,f(x)为积分曲线在x处的切线斜率。

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1

曲边梯形面积的求法

描述见《高数电子教案-描述0601-1.ppt》

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2

定积分的几何意义

如果在[a,b]上f(x)≥0,则在几何上表示由曲线y=f(x),直线x=ax=bx轴所围成的曲边梯形的面积。

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3

定积分性质6(估值定理)的几何意义

估值定理:设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则

其几何意义:曲边梯形的面积小于由y=Mx=a,x=bx轴所围成的矩形面积,而大于由y=mx=a,x=bx轴所围成的矩形面积。

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1

空间直角坐标系的建立条件

空间直角坐标系的建立需具备三个条件:

(1)在空间任选一点O称为坐标原点

(2)在O点处作三条两两互相垂直的轴Ox,Oy,Oz称为坐标轴

(3)在三个坐标轴上选定长度单位(三个轴上的长度单位可以取得不一样)

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2

三个坐标轴的排序

三个坐标轴Ox,Oy,Oz的次序和方向按习惯用法,规定为按右手法则排列,即右手握住z轴,四个手指从x轴的方向转到y轴方向时,拇指就指向z轴的正方向。

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3

坐标平面

三个坐标轴Ox,Oy,Oz两两决定三个互相垂直的平面Oxy,Ozx,Oyz,统称为坐标平面。

x轴和y轴所确定的坐标面称为Oxy坐标面;

x轴和z轴所确定的坐标面称为Ozx坐标面;

y轴和z轴所确定的坐标面称为Oyz坐标面。

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4

坐标

通过空间直角坐标系,我们建立了空间的点M与有序数组x,y, z 之间的一一对应的关系。有序数组x,y, z就称为点M的坐标,x为点M的横坐标,y为点M的纵坐标,z为点M的竖坐标,记为M(x,y,z)。

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5

八个卦限

三个坐标平面将空间分为八个部分,称其每个部分为卦限,它们分别是:

第一卦限   x>0,y>0,z>0,

第二卦限   x<0,y>0,z>0,

第三卦限   x<0,y<0,z>0,

第四卦限   x>0,y<0,z>0,

第五卦限   x>0,y>0,z<0,

第六卦限   x<0,y>0,z<0,

第七卦限   x<0,y<0,z<0,

第八卦限   x>0,y<0,z<0.

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6

坐标轴、坐标面上点的坐标的特征

坐标轴上和坐标面上的点,其坐标各有一定的特征:

x轴上点的坐标为(x,0,0),

y轴上点的坐标为(0,y,0),

z轴上点的坐标为(0,0,z),

Oxy面上点的坐标为(x,y,0),

Oyz面上点的坐标为(0,y,z),

Ozx面上点的坐标为(x,0,z),

原点O坐标为(0,0,0)。

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7

空间两点间的距离

M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点。过点M1 ,M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面,这六个平面围成一个以M1 M2为对角线的长方体。

M1 ,M2两点间的距离公式为:

|M1M2|=

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8

向量的几何表示

向量的几何表示:用一条有方向的线段,即有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向。

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9

负向量

负向量:与向量a的模相等,而方向相反的向量称为a的负向量,记为–a

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10

向量的加法(平行四边形法则)

设a,b为不位于同一条直线上的两个向量。将它们的始点移到同一点O,并记a=b=。以为邻边作平行四边形OACB,则称=cab的和向量,记为c=a+b。

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11

向量加法运算的三角形法则

自a的终点B作=b,连接AC,则向量即为ab的和向量。这种求和常称为向量加法的三角形法则。

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12

n个向量相加的法则

使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a1,a2,…,an,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和。
s=a1+ a2+ a3 + a4+ a5

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13

向量减法运算的三角形法则

定义  ab=a+(–b)

ab的始点移到点O,记=a=b。则由的终点B到的终点A的向量即为ab,称之为向量ab 之差。

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14

圆柱面

方程x2+y2=a2称为母线平行于z轴的圆柱面。

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15

椭圆柱面

方程称为母线平行于z轴的椭圆柱面。

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16

双曲柱面

方程称为母线平行于z轴的双曲柱面。

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17

抛物柱面

方程x2=2py称为母线平行于z轴的抛物柱面。

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18

以坐标轴为旋转轴的旋转曲面

若给定Oyz平面上的一条曲线L:

将L绕z轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,称z轴为旋转轴。

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19

法线向量

若向量n垂直于已知平面π,则称向量n为平面π的法线向量。

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20

平面的截距

abc为平面在x轴,y轴,z轴上的截距。

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21

两平面间的关系

两平面的法线向量之间的夹角为这两个平面间的夹角。

设这两个法线向量间的夹为φ,则由两向量的夹角余弦公式可知

cosφ=

这也是两平面夹角的余弦公式。

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22

直线的方向向量

设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p),建立过点M0且平行于向量s 的直线,称s为该直线的方向向量。

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23

空间直线

空间直线可以看作是两个不平行平面的交线。

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24

直线与平面之间的位置关系

过直线L作一个与平面π垂直的平面π1,则称π1与π的交线为直线L在平面π上的投影线L’,直线L与投影线L’相交确定两个角。定义其中介于0与之间的角φ为直线与平面间的夹角。直线L与平面π的法线向量n之间的夹角为-φ或+φ。

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25

单叶双曲面

由方程所确定的曲面称为单叶双曲面。

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26

双叶双曲面

由方程所确定的曲面称为双叶双曲面。

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27

二次锥面

由方程所确定的曲面称为二次锥面。

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28

椭圆抛物面

由方程(p,q同号)所确定的曲面称为椭圆抛物面。

p>0,q>0,利用截痕法可作出其图形。

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29

双曲抛物面

由方程(p,q同号)所确定的曲面称为双曲抛物面。

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30

双曲抛物面的截痕

用Oxy坐标面截所给曲面,截痕为两条直线。

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1

二元函数的几何意义

函数z=f(x,y)的几何图形是一张曲面,这就是二元函数的几何意义。如图所示,而定义域D正是这曲面在Oxy平面上的投影。

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2

邻域

以点P0(x0,y0,z0)为圆心,δ>0为半径的开圆域,称为点P0的δ邻域。

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3

二元函数偏导数的几何意义(1)

二元函数z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面。当y=y0时,曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为

上式表示y=y0平面上的一条曲线z=f(x,y0)。根据导数的几何意义可知:fx(x0,y0)就是这条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于x轴的斜率。

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4

二元函数偏导数的几何意义(2)

fy(x0,y0)是曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交线

根据导数的几何意义可知:fy(x0,y0)就是这条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于y轴的斜率。

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5

复合函数的结构图

设函数u=φ(x,y),v=Ψ(x,y)在点(x,y)处有偏导数,而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y), Ψ(x,y)]在点(x,y)处的偏导数,存在,且有下面的链式法则:

     (1)

公式(1)给出zx的偏导数是

     (*)

公式(*)与结构图两者之间的对应关系是:偏导数是由两项组成的,每项又是两个偏导数的乘积,公式(*)的这两条规律,可以通过函数的结构图得到,即

(1)公式(*)的项数,等于结构图中自变量x到达z路径的个数。函数结构中自变量x到达z的路径有两条.第一条是x→u→z,第二条是x→v→z,所以公式(*)由两项组成。

(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路径中函数及中间变量的个数。如第一条路径x→u→z,有一个函数z和一个中间变量u,因此,第一项就是两个偏导数的乘积。

复合函数结构虽然是多种多样,求复合函数的偏导数公式也不完全相同,但借助函数的结构图,运用上面的法则,可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式。这一法则通常形象地称为链式法则。

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1

二重积分的性质之估值定理

若在D上处处有mf(x,y)≤M,且S(D)为区域D的面积,则

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2

二重积分的性质之中值定理

f(x,y)在有界闭区域D上连续,则在D上存在一点(ξ,η),使

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3

二重积分在直角坐标系下的计算(一)

 

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4

二重积分在直角坐标系下的计算(二)

 

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5

二重积分在直角坐标系下的计算(三)

 

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6

二重积分在直角坐标系下的计算(四)

 

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7

二重积分在极坐标下的计算(一)

 

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8

二重积分在极坐标下的计算(二)

 

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9

二重积分在极坐标下的计算(三)

 

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10

二重积分在极坐标下的计算(四)

 

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1

阿贝尔(Abel)定理的推论

如果幂级数不是仅在x=0处收敛,也不是在整个数轴都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,使得

(1) 当|x|<R时,绝对收敛;

(2) 当|x|>R时,发散;

(3) 当x=Rx=-R时,可能收敛,也可能发散。

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