数学词典

本栏目为我们提供了课程主要的数学概念解释,我们通过数学词典,可以快速的了解相应的数学名词的解释,为我们的课程学习提供了方便。

函数

分段函数

有界函数

单调函数

偶函数,奇函数

周期函数

反函数

复合函数

基本初等函数

初等函数

数列

单调数列

有界数列

数列的极限

数列的夹逼准则

数列的单调有界准则

自变量趋向无穷大时函数的极限

自变量趋向有限值时函数的极限

单侧极限(左极限,右极限)

无穷小

无穷小量阶

无穷大

正(负)无穷大

铅直渐近线

函数连续

左连续与右连续

函数在区间上的连续

间断点

第一间断点

第二间断点

最大值,最小值

最值定理

介值定理

零点定理

导数

左导数与右导数

复合函数的求导法则

高阶导数

微分

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

洛必达法则

泰勒公式

麦克劳林公式

函数的极值

驻点

判定极值的第一充分条件

判定极值的第二充分条件

曲线的凹凸性

拐点

渐近线

原函数

不定积分

积分曲线

第一换元积分法

第二换元积分法

分部积分法

定积分

微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)

无限区间上的反常积分

无界函数的反常积分

二元函数

二元函数的极限

二元函数的连续性

偏导数

高阶偏导数

全微分

多元函数的极值

二重积分

三重积分

对弧长的曲线积分

对坐标的曲线积分

格林公式

对面积的曲面积分

对坐标的曲面积分

高斯公式

无穷级数

部分和

常数项级数

正项级数

任意项级数

函数项级数

正项级数的比较判别法

极限形式的比较判别法

正项级数比值判别法

交错级数

级数莱布尼茨定理

级数绝对收敛

级数条件收敛

幂级数

收敛半径与收敛区间

微分方程

微分方程的阶

微分方程的解

微分方程的通解

初值条件

特解

变量可分离的微分方程

一阶微分方程

xy是两个变量,X是实数集R的某个子集。如果对于X中的每个x值,变量y按照一定的规律,总有一个确定的值y与之对应,则称yx的函数,记作

数集X称作这个函数的定义域。x称为自变量,y称为因变量。

当自变量在不同的范围内取值时,函数对应规律不能用同一公式表示,而要用两个或两个以上的公式来表示,这类函数称为分段函数。

的定义域为,数集,如果存在正数,使得对于任意的都有不等式

成立,则称上有界。如果这样的不存在,就说函数在上无界。

设函数在区间上有定义(即是函数的定义域或者是定义域的一部分)。如果对于区间上的任意两点,当 时,均有

则称函数上单调增加(或单调减少)。如果对于区间上任意两点 时,均有

则称函数上严格单调增加(或严格单调减少)。

设函数的定义域D是关于原点对称的,即当 时,有,如果对任意的,均有

则称为偶函数,如果对任意的,均有

则称为奇函数。

对函数如果存在一个正常数,使得对于定义域内的任何均有,并且

成立。则称函数为周期函数,称为的周期。

设函数的定义域为D,值域为W,如果对于W中任意的y值,都可以通过确定D中唯一的x值与其对应,则得到了一个定义域是W,自变量是y的函数,称其为函数的反函数,这时称为直接函数。

设y是的函数,是x的函数,,并且的值域包含于的定义域,即,则y通过的联系也是x的函数。称此函数是由复合而成的复合函数,记作

并称x为自变量,称为中间变量。

我们将常量、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。

由基本初等函数经过有限次四则运算和经过有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。

初等函数是我们经常地、大量地研究的函数。不是初等函数的函数叫作非初等函数。

按一定顺序排列起来的实数列

称为数列。其中的每一个数叫作该数列的项,叫第一项,叫第二项,…。一般地,将第n项称为通项或一般项。数列可用通项简记为

对于数列,若有

则称数列是单调增加的,若有

则称数列是单调减少的,单调增加或单调减少的数列统称为单调数列

对于数列,若存在正数M,使得对于一切n都有

则称数列是有界的,M称为该数列的一个界;如果上述的正数M不存在,即无论正数M多么大,都有这样的正整数m存在,使得

则称数列无界

为一个数列,为常数,如果对于任意给定的正数,总存在一个正整数N,使当时,都有

成立,则称数列当n趋于无穷大时以为极限。记作

设有三个数列,满足条件:

(1)

(2)

则数列收敛,并且

单调有界数列必有极限

设函数上有定义,A为一个常数。若对于任意给定的正数,总存在正数,使得当时,都有

成立。则称函数时的极限为A,也称函数时收敛于A,记作

设函数的某去心邻域内有定义,A为常数。如果对于任意给定的正数,总存在正数,使得当时,恒有不等式

成立,则称函数当x趋于时有极限A。记作

设函数上有定义,A是常数。若对任意给定的正数,总存在正数,使得当时有

成立,则称处的右极限为A,记为

在上面的定义中将函数改为在的左侧附近有定义(即在上有定义),并将改为就得到了处的左极限为A的定义,相应地记作

左极限和右极限统称为单侧极限。

如果,则称函数时为无穷小量,简称无穷小。

(或)时为无穷小,且

(1) 如果,是常数),则称是同阶无穷小。

(2) 如果,则称是等价无穷小,记作

(3) 如果,则称是比高阶的无穷小,记作。(也可以称是比低阶的无穷小。)

设函数的某去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数M,都存在正数,当时,恒有

则称函数时为无穷大量,简称无穷大。并且记为

如果将定义中的改成(或),则称时为正无穷大(或负无穷大),并且相应地记为

如果当为无穷大,则称直线为曲线的铅直渐近线

设函数点的某领域内有定义,如果当自变量的增加趋向于零时,相应的函数增量也趋向于零,即

则称函数在点处连续

设函数点的某领域内有定义,如果

则称函数在点处连续,并称的连续点。

如果

则称函数在点处左连续;

如果

则称函数在点处右连续。

如果函数在开区间内的每一点都连续,则称函数在开区间内连续;若函数内连续,并且在左端点a处右连续,右端点b处左连续,则称函数在闭区间上连续。

如果函数在点处不连续,则称在点处间断,点称为函数的间断点。

的间断点,并且在点处是左极限,右极限都存在,则称的第一间断点

的间断点,但不是第一间断点,则称的第二间断点

设函数在区间I上有定义,如果存在,使得对于任何,都有

则称是函数在区间I上的最大值(或最小值);称为函数的最大值点(或最小值点)。最大值与最小值统称为最值。

若函数在闭区间上连续,则在必有最大值和最小值。

如果函数在闭区间上连续,且,则对介于之间的任何数在开区间内至少存在一点使得

成立。

若函数在闭区间上连续,且异号,则在开区间内至少有一点使得

的某邻域内有定义,属于该邻域。记。若

存在,则称其极限值为在点处的导数,记为,或,或,或等。

内每个点都可导,则称内可导,若,则称

内的导函数,简称导数。导函数的记号也可用,或,或等,简记为,或,或等。

及其左侧某邻域内有定义,若存在,则称其极限值为的左导数,记为

同样可以定义的右导数:

可导,在相应点可导,则复合函数可导,且有

的导数仍可导,则称的导数为的二阶导数,记为,或,或,或等,即

类似地,称二阶导数的导数为三阶导数;三阶导数的导数为四阶导数……阶导数的导数为阶导数。分别为

二阶或二阶以上的导数称为高阶导数。相应地,称为一阶导数。

在点的某邻域内有定义,属于该邻域。若,其中无关,是关于的高阶无穷小,则称在点处可微,而称为在点处的微分,记为,或,即

可微的充要条件是可导,且有

设函数满足:

(1) 在闭区间上连续;

(2) 在开区间内可导;

(3)

则至少存在一点,使

设函数满足:

(1)在闭区间上连续;

(2)在开区间内可导;

则至少存在一点,使

设函数满足:

(1)在闭区间上都连续;

(2)在开区间内都可导;

(3)在开区间内,

则至少存在一点,使

如果函数满足下列条件:

(1)

(2)在点的某去心邻域内,存在,且

(3)存在(或无穷大),

那么

如果满足:

(1)

(2)当足够大时,存在,且

(3)存在(或为无穷大),

那么

如果函数满足下列条件:

(1)

(2)的某去心邻域内,存在,且

(3)存在(或无穷大),

那么

设函数在含的某邻域内具有直至阶的导数,则当时,有泰勒公式:

常称为泰勒展开式中的皮亚诺型余项。

设函数在含的某区间内具有直至阶的导数,则当时有泰勒公式:

其中之间),称之为拉格朗日余项。

若在泰勒公式中取,则称之为麦克劳林公式:

其中位于之间。

设函数的某邻域内有定义。如果对于该邻域内任何异于都有

(1)成立,则称的极大值,称的极大值点

(2)成立,则称的极小值,称的极小值点、极大值、极小值统称为极值。极大值点,极小值点统称为极值点。

,则称的驻点。

设函数在点的某邻域内可导,且。如果在该邻域内

(1) 当时,;当,则的极大值点。

(2) 当时,;当时,,则的极小值点。

如果的两侧保持相同符号,则不是的极值点。

设函数在点处具有二阶导数,且。则

(1) 当时,的极大值点

(2) 当时,的极小值点

设函数上连续,在可导。

(1) 若对任意的,曲线弧过电的切线总位于曲线弧的下方,则称曲线弧上为凹的;

(2) 若对任意的,过曲线弧过电的切线总位于曲线弧的上方,则称曲线弧上为凸的。

连续曲线弧的凹弧与凸弧的分界点,称之为该曲线弧上的拐点。

沿曲线无限远离坐标原点时,若点与某定直线之间的距离趋于零,则称直线为曲线的一条渐近线。

设函数在某区间上有定义,如果对任意的,都有

则称函数为已知函数在该区间上的一个原函数。

如果函数的一个原函数,那么的全体原函数称为函数的不定积分,记作,函数的不定积分的一般表达式为为任意常数),即

其中记号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量,称为积分常数。

函数在某区间上的一个原函数,在几何上表示一条曲线,称为积分曲线

,

如果有连续导数,则有

(1)

连续,均连续,存在可导的反函数,且的一个原函数,即

(2)

(1)

(2)

公式(1)或(2)称为分部积分公式,利用分部积分公式计算不定积分的方法称为分部积分法。应用分部积分公式的作用在于:把不容易求出的积分转化为容易求出的积分

设函数在区间上有界,在中插入个分店:

把区间分成个小区间:

各个小区间的长度为

在每个小区间上任取一点,作和式(称为积分和式)

,如果对区间的任一分法,和小区间上点任意取法,当时,上述和式的极限都存在且相等,则称此极限为函数在区间上的定积分。记作,即

其中称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量,称为积分下限,称为积分上限,称为积分区间。

设函数在区间上连续,且上的任一个原函数,则

或记作

定义1 设函数在区间上连续,取,并记

称它为函数在无限区间上的反常积分,如果右边极限存在,则称反常积分收敛,否则称反常积分不存在,或发散。

定义2 设函数在区间上连续,取,并记

称它为函数在无限区间上的反常积分,如果右边极限存在,则称反常积分收敛,否则称反常积分不存在,或发散。

定义3 设函数在区间上连续,定义

称它为在无限区间上的反常积分。

由此定义显然可知,如果都收敛,则收敛;如果中只要有一个发散,则发散。

定义4 设函数在区间上连续,且(即在点处无界),记

称它为函数在区间上的反常积分,若右边极限存在,则称反常积分收敛,否则就称反常积分不存在,或发散。

定义5 设函数在区间上连续,且(即在点处无界),记

称它为函数在区间上的反常积分,若右边极限存在,则称反常积分收敛,否则就称反常积分不存在,或发散。

定义6 设函数在区间上除点外都连续,且,定义

称它为函数在区间上的反常积分,如果反常积分都收敛,则称反常积分收敛;如果中只要有一个发散,则称反常积分不存在,或发散。

上述三种反常积分统称为无界函数的反常积分。

设有三个变量如果对于变量在它们的变化范围 内所取的每一对值,变量按照一定的规律,总有一个确定的值与之对应,则称的二元函数,记作

其中称为自变量,称为函数(或因变量)。自变量的变化范围称为函数的定义域。

设函数在点的某一去心邻域内有定义,如果对于任意给定的正数,总存在正数,使得对于适合不等式

的一切点,都有

成立,则称常数为函数时的极限。

二元函数的极限也称为二重极限。

设函数在点的某一去心邻域内有定义,如果当点趋于时。函数的极限等于在点处的函数值,即

则称函数在点处连续。

设函数在点的某一邻域内有定义,当固定在,而有增量时,相应地函数有增量

如果极限

存在,则称此极限值为在点处对的偏导数。记作

类似地,函数在点处对的偏导函数,定义为

又可记为

如果函数在区域内的每一点都存在对的偏导数,即

存在,显然这个偏导数仍是的函数,称它为函数的偏导数,记作

记号“”是指函数中把变量暂时看作常量,而对自变量求导。

类似地,可以定义函数在区域内对自变量的偏导函数为

记作

设函数在区域内有偏导数

一般来说仍是的函数。如果二元函数的偏导数存在,则称他们是函数的二阶导数,二元函数可得到下列四个二阶偏导数:

其中第二、三两个二阶偏导数称为混合偏导数,第二个二阶偏导数是先对,后对求偏导数,而第三个二阶导数是先对后对求偏导数。

同样可得三阶、四阶以至阶偏导数(如果存在的话)。一个多元函数的阶偏导数的偏导数称为原来的函数的阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

设二元函数在点的某邻域内有定义,如果在点的全增量

可表示为

其中无关,是当时,比高阶的无穷小,则称为函数在点处的全微分,记作,即

并称函数在点处可微。

如果函数在区域内的每一点处都可微,则称在区域内是可微的。这样,区域内任一点()处的全微分为

或写成

设函数在点的某一邻域内有定义,并且对于该邻域内异于的点都有(或,则称函数在点有极大(或极小)值.称点位函数的极大(或极小)值点。函数的极大值、极小值统称为极值,函数的极大值点、极小值点统称为极值点。

在有界闭区间上有定义且有界。

分割 将用任意两组曲线分割为个小块其中任意两个小块除边界外无公共点。既表示第个小块,也表示第个小块的面积。近似、求和 任取点,作和式

取极限 记的直径,。若

存在,且此极限值不依赖于区域的分法,也不依赖于点的取法,则称此极限为在区域上的二重积分,记为

为被积函数;为积分区域;为积分变量,为面积微元(或面积元素)。

此时在区域上是可积的。

在有界闭区间上有定义且有界。

分割 将用任意三组曲面分割为个小块其中任意两个小块除边界外无公共点。既表示第个小块的体积。

近似、求和 任取点作和式

取极限 记记的直径,。若

存在,且此极限值不依赖于区域的分法,也不依赖于点的取法。则称此极限为在区域上的三重积分,记为

为被积函数;为积分区域;为积分变量,为体积微元(或体积元素)。此时也称在区间上是可积的。

设曲线弧为分段光滑曲线弧,函数在曲线弧上有定义且有界。

分割 在上插入分点,将任意分割为个弧段,并记其长为

近似、求和 在上任取一点,作和式

取极限 记,如果

存在,且此极限值不依赖于曲线弧的分法,也不依赖于点的取法,则称其值为沿曲线对弧长的曲线积分,记为。即

通常又称其为第一曲线积分。称为被积函数,曲线称为积分路径。

平面上从的一条有向光滑曲线段,函数上有定义且有界。

分割 在上插入分点。将任意分割为个弧段,其中的坐标为

近似、求和 在上任取一点,记。作和式

取极限 令为所有小弧段直径的最大值,取极限

若极限存在,且其值与分割的方法无关,与点的取法无关,则称此极限为函数在有向弧段上对坐标的曲线积分,记作。即

类似地,若极限

存在,则称此极限为函数在有向弧段上对坐标的曲线积分,记作

若上述两个曲线积分都存在,常记

并称为被积函数,为积分路径。统称为向量函数上从点的对坐标曲线积分。通常也可以简称为从的第二型曲线积分。

设闭区间由分段光滑曲线围成,函数上具有一阶连续偏导数,则有格林公式

其中为区域的边界曲线的正向。

设曲面为光滑曲面,函数上有定义且为有界函数。

分割 用任意两组曲线将曲面分割为个小块并以表示第个小块的面积。

近似、求和 在上任取一点,作和式

取极限 令个小块的直径的最大值,若

存在,且该极限值不依赖曲面 的分法,也不依赖于点的取法,则称此极限值为上对面积的曲面积分,常记为

其中称为被积函数,称为积分曲面,为曲面的面积元素。又称上述积分为第一型曲面积分。

为光滑的有向曲面,函数上有定义且有界。

分割 用任意两组曲线将曲面分割为个小块并以表示第个小块的面积。

近似、求和 在上任取一点,记面上的投影,作和式

取极限 记个小块的直径的最大值,取极限

若上述极限存在,且其值不依赖于的分法,也不依赖于点的取法,则称此极限值为在有向曲面上对坐标的曲面积分,记作

其中称为被积函数,称为积分曲面。

通常也称之为第二型曲面积分。

设空间闭区域是由分片光滑闭曲面所围成的,与任一平行于坐标轴的直线的交点不多于两个。且内具有一阶连续偏导数,则有高斯公式:

其中的边界曲面的外侧。

对于数列用“+”号连接起来:

或简记为,称为无穷级数,简称级数。称其第伟通项或一般项。

为级数的前项和,简称部分和。由此可由无穷级数得到一个部分和数列

存在,则称级数收敛。并称此极限为级数的和,记为。若不存在,则称级数发散。

中每项皆为常数,则称为常数项级数。

,则称为正项级数。

若对于可以取正值;对于另一些可以取负值,则称为任意项级数。

为函数列,则称为函数项级数。特别,如果,则称为幂级数。

设两个正项级数。如果满足

那么(1)若收敛,则收敛;

(2)若发散,则发散。

都是正项级数,且,则的收敛性相同。

若正项级数满足

时,收敛;

时,发散,并且此时

时,可能收敛,也可能发散。即此时不能利用比值判别法判定的收敛性。

交错级数是指它的各项是正负相间(或负正相间)的级数。设,其一般形式为

若交错级数(其中)满足:

则称必定收敛,且其和其余项的绝对值

如果收敛,则称绝对收敛

如果收敛,而发散,则称条件收敛。

形如

(其中,都是与无关的常数)的函数项级数,称为幂级数。称为幂级数的系数。前者可称为的幂级数。后者可称为的幂级数。

通常称上述正数为幂级数的收敛半径,称为幂级数的收敛区间。

凡含有未知函数的导数(或微分)、未知函数及自变量的方程,称为微分方程。其中必须含有未知函数的导数(或微分),而未知函数与自变量可以不出现。若未知函数是一元函数,则称为常微分方程;若未知函数是多元函数,则称为偏微分方程。

微分方程中所含未知函数导数的最好阶数,称为微分方程的阶。

设函数在区间内有直到阶导数,并且满足(10)式,即有

则称为微分方程(10)在内的一个解。

如果微分方程的解中包含有任意常数,并且独立的(即不可合并而使个数减少)任意常数的个数与微分方程的阶数相同。这样的解称为微分方程的通解。

用以确定通解中任意常数的附加条件,称为初值条件。

由初值条件确定了通解中的任意常数后所得的解,称为微分方程满足所给初值条件的特解。

如果一阶微分方程可以写成

的形式,则称原一阶微分方程为变量可分离的微分方程。

下列形式的一阶微分方程

(1)

称为一阶线性微分方程,其中是某区间上的已知的连续函数,称为自由项。

线性微分方程的特点是,方程中关于未知数及未知数的导数是一次式。如果,则称方程(1)为一阶线性非齐次微分方程,成为非齐次项;如果,则方程(1)变成

(2)

称为方程(1)所对应的一阶线性齐次微分方程。