疑难解答

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第一章 函数

什么是函数定义的两要素?

对应规则f和定义域.

函数的表示方法有几种?

函数的表示方法通常有三种: 公式法, 表格法, 图形法.

如何判断两个函数是否相等?      

如果两个函数的定义域相同,对应规则也相同,则认为这两个函数是相等的.

什么是基本初等函数?

基本初等函数包括下列五种函数:幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函数.

什么是初等函数?

初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及复合步骤所得到的, 并能用一个式子表示的函数.

函数的性质有哪些?      

单调性, 奇偶性, 周期性, 有界性和连续性.

分段函数一定不是初等函数吗?      

初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及复合步骤所得到的, 并能用一个式子表示的函数. 分段函数虽用几个表达式表示, 但并不能肯定说它不能用一个表达式表示, 因此, 分段函数也可能是初等函数.

例如 j(x)=|x|,通常写成分段函数的形式

但也可写成一个表达式,因此,j(x)=|x|是初等函数.

区间和邻域的区别是什么?

区间可以是开区间,闭区间,半开半闭区间.而根据邻域的定义, 邻域只能是开区间.

非单调函数是不是一定没有单值反函数?

单调函数必有单值反函数, 非单调函数可能有反函数,也可能没有.

一个函数是否有单值反函数, 取决于它的对应规则在定义域与值域之间是否构成一一对应关系. 如果是一一对应, 那么必有单值反函数, 否则就没有单值反函数. 函数单调只是一种特殊的一一对应关系, 因此单调是存在单值反函数的充分条件, 不是必要条件.

一个函数与其反函数的图形有怎样的关系?      

它们的图形关于直线y=x对称.

第二章极限与连续

Xn->a (n->∞)表示Xn越来越接近a,这种说法对吗?

这种说法不妥.应当说“当充分大时, xn与a之差的绝对值小于预先给定的任意正数e”.或者说“当n越来越大时,xn无限接近于a”. 而xn越来越接近于a, 只能理解为|xn-a|单调减少, 单调减少不一定趋于0.

为什么高等数学中三角函数的角通常采用弧度制而不是角度制?

因为三角函数的许多重要性质,如等价无穷小,连续性,求导公式等等,都是直接或间接地建立在重要极限的基础上的.而在证明这个极限的过程中,用的是弧度制,所以高等数学中三角函数的角通常采用弧度制.

怎样表述

的定义为:存在一个e>0,对任意给定的d>0,总有点x1,满足0<|x1-x0|<d,使|f(x1)-A|3e.

数列极限定义中的N=N(e)是不是e的函数?

N=N(e)仅表示N与e有关, 并不表示N是e的函数. 因为对给定的e, 如果存在一个满足要求的N, 就存在无限多个满足要求的N, 因此N(e)不是唯一的. 所以, N不是e的函数.

数列{xn}与数列{|xn|}是否同敛散?

一般来说, 数列{xn}与数列{|xn|}不是同敛散.

若数列{xn}收敛, 则数列{|xn|}也收敛,且当时,

若数列{|xn|}收敛, 则数列{xn}可能收敛, 也可能发散.例如{|(-1)n|}收敛, 但{(-1)n}发散.

当然,也有数列{xn}与数列{|xn|}同敛散的情形, 例如

若数列{xn}恒正或恒负时, 数列{xn}与{|xn|}同敛散.

如果,则 ,对吗?

对的.可以根据极限的定义加以证明.     

用极限的运算法则求极限时, 应注意什么?

极限的运算法则都是以极限存在为前提的,在没有判明极限存在以前,不应随便进行运算,否则可能会错

怎样证明数列不是无穷大?                

证明数列不是无穷大的常用方法是找出一个收敛的子列.因为,若一个数列是无穷大,则它的任何一个子列都是无穷大.

怎样证明数列发散?

证明数列发散的常用方法是找出{xn}的一个发散的子列; 或者找出{xn}的两个有不同极限的子列.

怎样证明数列{xn}无界?

证明数列{xn}无界的常用方法是找出一个无穷大子列,即.

第三章导数与微分

关于分段函数在分界点处的求导问题?

对于分段函数在分界点处的导数的求法,对初学者来说,应该用导数定义来求.当函数具备一定条件时,也可不必用定义来求.

函数在一点可导,是否在该点的邻域也可导?

不一定.例如函数  (上对着的x为有理数,下x为无理数)

在x =0处可导,因为

而在x 10处f (x)不连续,当然也不可导.

哪些题目适合用对数求导法?

求幂指函数以及分子分母都是因式连乘机的分式函数时, 通常使用对数求导法.

关于复合函数可导的条件问题?

(1) 如果u=j(x)在x0处不可导,而y=f(u)在u0=j(x0)处可导, 那么复合函数y=f[j(x)]在x0处有可能可导.

(2) 如果u=j(x)在x0处可导,而y=f(u)在u0=j(x0)处不可导, 那么复合函数y=f[j(x)]在x0处有可能可导.

(3) 如果u=j(x)在x0处不可导,而y=f(u)在u0=j(x0)处不可导, 那么复合函数y=f[j(x)]在x0处有可能可导.

由此可见, 求导法则中对u=j(x)和y=f(u)所假设的条件都是充分条件.

如何求函数的任意阶导数?

根据高阶导数的定义, 二阶导数是一阶导数的导数, 三阶导数是二阶导数的导数, 依此类推. 于是, 求高阶导数的一般方法就是使用基本导数公式和求导法则, 逐阶求导即可.

如果是求函数的任意阶导数, 采用逐阶求导的一般方法是不可行的. 常用的有以下两种方法: (1)数学归纳法 (2)莱布尼兹公式.

关于函数的奇偶性与其导函数的奇偶性有什么关系?

容易证明: 可导的偶函数的导数是奇函数,可导的奇函数的导数是偶函数.

另外,非奇非偶函数的导函数可能是偶函数.例如,若y=f(x)是奇函数,则y=f(x)+a(a10)就是非奇非偶函数.而常数a的导数为0,所以y=f(x)+a与y=f(x)的导数一样.由此可知, 非奇非偶函数的导函数可能是偶函数.

微分dy=f'(x)dx中的dx是否要很小?

不一定. 根据微分定义, dy=f'(x)dx这个等式中无论dx大或小都是成立的.

第四章中值定理与导数应用

罗尔定理中“f(x)在闭区间[a, b]连续, 在开区间(a, b)可导”这两个条件, 是否可改为“f(x)在闭区间[a, b]可导”一条, 这样不是更简单吗?

这样条件增强了, 但定理的适用范围就缩小了.在研究数学命题时, 总是力求把命题的条件减弱, 以扩大适用范围.

罗尔定理的结论中的点是否为函数的极值点?

函数f(x)满足罗尔定理的三个条件时,曲线y= f(x)在对应于点处具有水平切线.反之,具有水平切线的地方不一定是函数的极值.因此, 罗尔定理的结论中的点不一定是函数的极值点.

在极值点的左右邻域内函数一定单调吗?

不一定.如果函数f(x)在点x0的某邻域内连续,且在x0的左邻域单调增加,而在x0的右邻域单调减少,则f(x)在x0处一定有极大值.但反之不一定成立.例如,函数

在x =0处有极大值,但在x =0的任意右邻域内,函数都不是单调下降的.

数列极限能否直接用罗比达法则?

不可以.因为数列没有导数.但对于“”或“”型的数列极限可以间接的使用罗比达法则.例如,求数列的极限,可先用罗比达法则求相应的函数极限,再跟据数列极限和函数极限的关系来求.

能否用罗比达法则证明两个重要极限?

不能.因为在使用罗比达法则时,用到的导数公式?和

都是在这两个重要极限基础上建立的,因此如果用罗比达法则来证明这两个重要极限,就犯了逻辑上循环论证的错误.

如何正确使用罗比达法则?

正确使用罗比达法则,必须注意以下三点:

(1)是不是“”或“”型的未定式.

(2)是不是满足罗比达法则的另外两个条件.

(3)其他未定式要先转换成“”或“”型的未定式.

任何未定式都可以使用罗比达法则吗?

不一定. 使用罗比达法则必须满足三个条件,而“”或“”型的未定式不一定都满足这些条件, 所以并不一定都能使用罗比达法则.

曲线的渐近线共有几种?

共有三种:水平渐近线,垂直渐近线和斜渐近线.

函数的单调性和导数单调性是否一致?

不一定.例如是单调减函数,但是单调增函数.

第五章不定积分

什么是原函数?

f(x)是定义在某区间上的已知函数, 如果存在一个函数F(x), 对于该区间上的每一点都有F'(x)= f(x)或dF(x)= f(x) dx, 则称函数F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数.这样条件增强了, 但定理的适用.

什么是不定积分?

函数 f(x)的所有原函数, 称为f(x)的不定积分. 记作.

求不定积分的常用方法有哪些?

求不定积分的常用方法有:第一换元法(凑微分法), 第二换元法, 分部积分法等.

第一换元法和第二换元法的区别是什么?

不定积分的换元法有第一换元法和第二换元法两种. 第一换元法也称“凑微分法”, 特点是逐步将被积函数的原函数凑出来, 而不必明显地将原积分换成新变量的积分后, 再求其原函数; 第二换元法的特点是必须把原积分换成新变量的积分, 求出新变量的积分后, 再在结果中将新变量换回到原来的变量. 所以, 第二换元法必须要求换元函数的反函数存在.

分部积分法的作用是什么?

分部积分法的作用有(1)逐步化简积分式(2)产生循环现象,从而求出积分(3)建立递推公式.可参见教材上相应例题.

在微分学中, 公式为, 而在积分学中,公式为,对此应怎样理解?

在微分学中, 是已知,求它的导函数.这个函数的定义域是x>0,其导函数自然只是在区间内成立.而不定积分是对已知函数求原函数.这个函数的定义域是.因此,是在以上两个区间内分别求原函数,所以有.

有人说函数是函数的原函数,理由是, 这种说法对吗?

不对. 因为函数x=0这一点不可导.

有理函数的不定积分, 必须都用部分分式法来解吗?

不一定. 用部分分式法来求解有理函数的不定积分, 主要是要从理论上证明.

用部分分式求有理函数的不定积分时,确定部分分式中的待定系数有哪些方法?最基本的方法是什么?

确定部分分式中的待定系数有以下方法:(1)比较系数法(2)赋值法(3)逐次约简法(4)求导法;中最基本的方法是赋值法.

第六章定积分

定积分定义的基本思路是什么?

定积分定义的基本思路主要是以下三点:(1)分割; (2)近似求和; (3)求极限.

在定积分的定义中,要注意哪两点?

(1) 函数f(x)在区间[a, b]上有界;(2) 极限值 的存在与区间[a, b]的分法及xi的取法无关.

定积分定义的基本思路是什么?

f(x)在区间[a, b] 上的定积分的几何意义是什么?

如果f(x) 30, x ?[a, b], 则其几何意义表示由曲线y=f(x)和直线x= a, x=b, y=0所围成的曲边梯形的面积.当f(x) <0时, 是个负数.其绝对值表示由曲线y=f(x)和直线x= a, x=b, y=0所围成的曲边梯形的面积.

函数f(x)在区间[a, b]上有界是f(x)在 [a, b]上可积的什么条件?

必要条件, 但不是充分条件.

定积分的换元法和不定积分的换元法的区别?

不定积分的换元法的目的是通过换元, 求出被积函数的原函数的一般表达式. 有第一类换元法和第二类换元法两种. 第一类换元法也称“凑微分法”, 它的特点是逐步将被积函数的原函数凑出来, 而不必明显地将原积分换成新变量的积分后, 再求其原函数; 第二类换元法的特点是必须把原积分换成新变量的积分, 然后求出新变量积分的原函数, 再在结果中将新变量换回到原来的变量.

定积分的换元法的目的在于求出积分值, 这是它与不定积分的换元法不同之处. 它在换元的同时, 要相应地变换积分的上、下限, 将原积分变换成一个积分值相等的新积分. 所以积分经过变换后, 不必再去关心原被积函数的原函数是什么, 也没有必要再去关心变换函数是否存在反函数等问题. 这是定积分的换元法与不定积分的换元法的最大差别.

怎样计算被积函数含有绝对值符号的定积分?

被积函数含有绝对值符号时, 用分段函数表示被积函数, 以便去掉绝对值符号, 然后利用定积分的可加性分段进行计算.

定积分的常用计算方法有哪些?

常用计算方法有:

(1) 用定积分定义计算.

(2) 用定积分性质计算.

(3) 用牛顿-莱布尼兹公式计算

(4) 用换元法计算.

(5) 用分部积分法计算.

(6) 根据函数的奇偶性计算.

定积分的积分中值定理是什么?其几何意义又是什么?

积分中值定理: 若f(x)在区间[a, b] 上连续, 则至少有一点x?[a, b], 使得几何意义: 以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积, 等于底边相同而高为f(x)的一个矩形的面积.

定积分的推广的积分中值定理是什么?

f(x)在区间[a, b] 上连续, g(x)在区间[a, b]上可积且不变号, 则存在x?[a, b], 使

.

定积分主要有哪些应用?

定积分的应用主要有: 求平面图形的面积, 旋转体的体积和物理学及经济学上的应用.

第八章多元函数微分法及其应用

判定二重极限不存在, 有哪些常用方法?

根据二重极限的定义存在,要求点P(x, y)以任何方式趋于点P0(x0, y0)时, f(x, y)有相同的极限.

因此判定二重极限不存在,通常有以下两种方法:

(1) 选取一种P? P0 的方式,按此方式, 极限不存在.

(2) 选取两种不同的P? P0 的方式,使在此两种不同方式下, 不相等.

二重极限与累次极限之间有什么关系?

二重极限与累次极限之间的关系是比较复杂的.可能有以下几种情况:

(1) 二重极限存在, 两个累次极限不存在.

(2) 二重极限不存在, 但两个累次极限却都存在且相等..

(3) 二重极限与累次极限都存在且相等.

求比较简单的函数f(x, y)的二重极限有哪些常用方法?

求函数f(x, y)的二重极限常用方法有:

(1) 利用连续的定义及初等函数的连续性.

(2) 利用极限的性质(如四则运算, 夹逼定理)

(3) 先用观察的方法, 猜测数A可能是函数f(x, y)的极限, 然后用二重极限定义去验证.

(4) 消去分子分母中极限为零的因子.

(5) 转化成一元函数的极限问题, 利用一元函数中的已知极限.

如果一元函数f(x0, y) 在y0处连续, f(x, y0)在x0处连续,那么二元函数f(x, y)在点(x0, y0)处是否必连续?

未必连续.这只要注意到二元函数连续的定义是建立在二重极限的基础之上.而对每一个变量连续只相当于一种特定方式的极限存在(如对x连续,相当于y=y0, x, x0),它不能代替所有 (x, y),( x0, y0)的方式下极限都存在.因此,我们不能从f(x, y)分别对每个变量xy都连续而得出f(x, y)一定是连续的结论.

计算偏导数fx '(x0, y0)时,能否将y=y0先代入f(x, y)中,再对x求导?

可以.从偏导数的定义可以得到这个结论.

混合偏导数f''xy (x, y) 与f ''yx (x, y) ?是否一定相等?

不一定. 但在一定条件下,这两者必相等,即混合偏导数与求导次序无关,下述定理就是一个常用的充分条件.定理: 如果在点(x, y)的邻域内函数f (x, y)的混合偏导数f''xy (x, y) 与f ''yx (x, y)都存在,且它们在点(x, y)处连续,那么必有f''xy (x, y) =f ''yx (x, y).

二重积分的常用计算方法有哪些?

(1) 利用直角坐标系计算.(2) 利用极坐标系计算.

二元函数的连续性与可导性之间有什么关系?

对一元函数来说,可导一定连续.但在多元函数中, 连续与可导之间没有必然的联系.可导未必连续, 连续也未必可导.

二元函数可微必连续,那么反之如何?

二元函数可微必连续,但反之不真.

二元函数的可微性与可导性有何关系?

对一元函数来说,可微与可导是等价的,但对二元函数(或二元以上)来说,两者并不等价.(1)可微必可导.但其逆不真.(2)若 fx '(x, y)与fy '(x, y)连续,那么函数f(x, y)必可微. 反之不一定.

第十一章无穷级数

什么是无穷级数?

设有数列u1,u2,...,un ,...则式子 称为无穷级数,简称级数. un称为级数的一般项.

级数的收敛和发散是如何定义的?

级数的收敛和发散是用其部分和数列来定义的.若部分和数列Sn的极限存在,则称这个级数是收敛的.否则称为发散.

级数是否可以任意加括号?

级数是不能随意加括号的.

收敛的级数加括号后仍收敛,发散的级数加括号后可能变为收敛级数.

级数的一般项趋于零是级数收敛的充要条件吗?

级数的一般项趋于零是级数收敛的必要条件, 不是充分条件.

任意项级数和交错级数有什么区别?

任意项级数是指各项符号不完全相同的级数.而交错级数是指各项符号正负相间的级数.

使用比较判别法时的思路是什么?

首先要估计所考察的正项级数是收敛还是发散,然后去寻找用于比较的标准级数,以证明所作的估计.

比值判别法和根值判别法相比, 各有什么优点?

这两种判别法都是基于把所考察的正项级数与等比级数比较而得到的,但又有所差别.

首先可以证明,如果极限存在,那么

这个结论说明,能用比值判别法判定其收敛性的正项级数,一定可以用根值判别法判定其收敛性.

其次, 如果极限不存在,却可能存在.

总之,一般说来比值判别法在使用上方便些,而根值判别法的应用范围要广一些.

若级数收敛,则级数也收敛,对吗?

不对. 这里级数不一定是正项级数,所以结论不能成立.例如,级数收敛,但级数是发散的.

求幂级数的和函数有什么规律?一般步骤是什么?

求幂级数的和函数,一般说来,没有什么规律.而且幂级数的和函数也不一定是初等函数.但在一些简单的情形,可以利用几个已知的初等函数的展开式经过某些简单运算来求得. 简单运算是指(1)变量替换(2)求导或积分(3)两个幂级数相加或相减合成一个幂级数;或相反(4)以x的整数次幂乘幂级数等.

哪几个初等函数的幂级数展开式应该记住?

的幂级数展开式非常重要,应该记住.

第十二章常微分方程

什么是微分方程?

含有未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程.

未知函数为一元函数的微分方程, 称为常微分方程. 未知函数为多元函数, 从而方程中出现偏导数, 称为偏微分方程.

什么是微分方程的阶数?

微分方程中出现的各阶导数的最高阶数, 称为微分方程的阶数. 例如, y'=2x是一阶微分方程, y''= -2x是二阶微分方程.

什么是微分方程的解, 通解和特解?

如果一个函数代入微分方程后, 方程两端恒等, 则称此函数为微分方程的解.

如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数, 则称此解为微分方程的通解. 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解, 称为特解.

是否所有的微分方程都存在通解?

不是所有的微分方程都存在通解. 例如方程y'2 +1=0不存在实函数解, 而方程y'2 + y2 =0只有解y=0. 上述两个方程都不存在通解.

什么是全微分方程?

如果常微分方程M(x, y)dx+ N(x, y)dy=0的左端恰好是某个二元函数u(x, y)的全微分, 即du(x, y) =M(x, y)dx+ N(x, y)dy

则称这种方程为全微分方程.

二阶微分方程的解的叠加原理是什么?

y1 , y2是二阶线性齐次方程的解,则y1 , y2的任意线性组合C1y1+C2 y2也是该方程的解(其中为C1,C2任意常数).

用分离变量法解微分方程时, 往往要将方程进行变形, 问是否会发生丢解的情形?

有可能丢解. 例如F(x)G(y)dx+f(x)g(y)dy=0是可以分离变量的方程. 分离变量为

这里自然假定f(x)10, G(y) 10. 把上式积分得通解这个解只是在f(x)10, G(y) 10时是有效的. 但从原方程中可以出: 如果有使f(x)=0的实常数x0存在或使G(y) =0的实常数y0存在, 那么x= x0或y= y0也是原方程的解.

给出n阶线性微分方程的几个解, 问能否写出这个微分方程及其通解?

不一定能写出微分方程及其通解, 因为问题中:

(1) 没有明确微分方程是“齐次”还是“非齐次”;

(2) 没有明确微分方程的几个解是“线性无关”还是“线性相关”。

如果把问题改成:“给出n阶线性齐次微分方程的n个线性无关的特解,问能否写出这个方程及其通解?”那么回答是肯定的.

设在一方程中除含有未知函数外, 还含有变上限的积分, 且未知函数也出现在积分的被积函数中, 如何求解这类方程?

这种方程通常称为积分方程, 首先把这种方程化为微分方程. 在化为微分方程时, 不要忘记加初始条件, 这些初始条件有的是给定的, 有的是根据方程所带的变上限积分限来确定的; 也不要忘记有可能出现增解.

用微分方程解应用题的一般步骤是什么?

(1) 分析问题, 建立微分方程; 写出定解条件; 注意单位的一致;

(2) 求出微分方程的通解, 根据定解条件, 确定积分常数;

(3) 结合实际问题, 必要时对结果作些解释;

(4) 必要时修改模型, 对问题作进一步的探讨.